Integración de potencias de funciones trigonométricas

 Integración de potencias de funciones trigonométricas

Aprendizaje personal

En la clase del día de hoy vimos un nuevo tema, que incluye funciones trigonométricas las cuales llevan potencias, y .utilizar diferentes tipos de identidades de tal manera que hagamos la integral lo mas sencilla que se pueda.

Conocimiento complementario

¿Qué son las Integrales de Funciones trigonométricas con potencias?

Son aquellas integrales cuyas función seno o coseno sea una potencia impar, se realiza la separación en potencias pares y siempre sobra una lineal, la cual funcionará como diferencial; el resto se transforma mediante la siguientes identidades trigonométricas

Ejemplo 1

Calcula la integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\cos^2 x\,dx \end{equation*}

Utilizamos la siguiente identidad:

  \begin{equation*} \cos x = \sqrt{\frac{1 + \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

Así, nuestra integral se convierte en la siguiente:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!\left(1 + \cos(2\,x)\right)\,dx\\ &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,dx \end{eqnarray*}

Ya podemos calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,\left(\frac{2}{2}\right)dx\\ &=& \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\,\sin(2\,x) + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.

En la sección anterior calculamos la integral \int\!\sin^2x\,dx utilizando integración por partes.

Se te queda como ejercicio calcularla utilizando la identidad trigonométrica:

  \begin{equation*} \sin x = \sqrt{\frac{1 - \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

La siguiente integral no utiliza el mismo artificio. Sino el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno.

Ejemplo 2

Calcula la integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\cos^3x\,dx \end{equation*}

Utilizando la identidad:

  \begin{equation*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{equation*}

podemos reescribir la integral de la siguiente forma:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\left(1 - \sin^2x\right)\,\cos x\,dx \\ &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx \end{eqnarray*}

La primera integral es inmediata. Para la segunda, vamos a definir: u(x) = \sin x, luego, u'(x) = \cos x. Esto nos dice que podemos hacer el cambio de variable:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx\\ &=& \sin x - \int\![u(x)]^2\,u'(x)\,dx\\ &=& \sin x - \frac{[u(x)]^3}{3} + C\\ &=& \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C \end{eqnarray*}

El artificio de sustituir \cos^2x = 1 - \sin^2x nos sirve para simplificar integrales cuyo integrando consista de la función \cos x elevada a una potencial impar. Por ejemplo, para integrar \cos^5x reescribimos este integrando de la siguiente manera:

  \begin{eqnarray*} \cos^5x &=& \cos^4x\cdot\cos x = \left(1 - \sin^2x\right)^2\cos x \\ &=& \left(1 - 2\,\sin^2x + \sin^4x\right)\,\cos x \end{eqnarray*}

Después podemos definir u = \sin x y proceder como en el ejemplo que acabamos de resolver. En algunos productos de potencias de las funciones \sin x y \cos x también podemos aplicar el mismo artificio matemático. Solamente debemos recordar que la diferencial debe estar completa.

Ejemplo 3

Calcula la integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\tan^2x\,dx \end{equation*}

Usando la identidad mencionada, la integral puede reescribirse como:

  \begin{equation*} \int\!\tan^2x\,dx = \int\!(1 - \sec^2x)\,dx = \int\!dx - \int\!\sec^2x\,dx \end{equation*}

Ambas integrales son inmediatas:

  \begin{equation*} \int\!\tan^2x\,dx = x - \tan x + C \end{equation*}

Ejemplo 5

Calcula la siguiente integral indefinida:

  \begin{equation*} \int\!\tan^3x\,dx \end{equation*}

El integrando puede reescribirse como:

  \begin{equation*} \int\!\tan^3x\,dx = \int\!(\sec^2x - 1)\,\tan x\,dx = \int\!\sec^2x\tan x\,dx - \int\!\tan x\,dx \end{equation*}

Ahora observa que si definimos: u(x) = \tan x, entonces, u'(x) = \sec^2x. Entonces, al hacer el cambio de variable, obtenemos:

  \begin{eqnarray*} \int\!\tan^3x\,dx &=& \int\!u(x)\,u'(x)\,dx - \int\!\tan x\,dx\\ &=& \frac{[u(x)]^2}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\\ &=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx \end{eqnarray*}

Para calcular la integral faltante, vamos a definir: v = \cos x. Entonces, \dv = -\sin x\,dx. Así, podemos aplicar la regla (v) de integración:

  \begin{eqnarray*} \int\!\tan^3x\,dx &=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\\ &=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{-\dv}{v}\\ &=&\frac{\tan^2x}{2} + \ln{v} + C\\ &=&\frac{\tan^2x}{2} + \ln|\cos x| + C \end{eqnarray*}

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INTEGRALES DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS(potencia par e impar) 




En los productos de potencias de las funciones trigonométricas siempre debemos intentar sustituir las identidades de manera que obtengamos una forma integrable.

Fuentes

https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/integracion-funciones-trigonometricas/

https://pablohalfblood.weebly.com/integrales-de-potencias-pares-e-impares-de-funciones-trigonomeacutetricas.html#:~:


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