Unidad lll - Derivadas Exponenciales y logarítmicas

Derivadas Exponenciales y logarítmicas

Aprendizaje personal

Holis el día de hoy vimos 3 reglas mas para aplicar en una función, y nos enseñaron que de igual manera se pueden mezclar, con las algebraicas y geométricas a continuación pondré algunos ejemplos, y las 3 reglas que vimos.

Conocimiento complementario

Derivada de la función exponencial de base a

La derivada de la función exponencial de base a es igual al producto de la función por el logaritmo neperiano de la base de la potencia por la derivada del exponente.

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

Por ejemplo, la derivada de la siguiente función exponencial es:

$f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x$

Derivada de la función exponencial de base e

a derivada de la función exponencial de base e es equivalente al producto de la misma función por la derivada del exponente.

$f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'$

Por ejemplo, la derivada del número e elevado a 4x es:

$f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}$

Derivada exponencial de e a la x

Una vez hemos visto cuál es la fórmula de la derivada exponencial, vamos a analizar el caso de la derivada de e a la x, ya que es un caso curioso.

La derivada de la función e a la x siempre da como resultado la propia función, es decir, no importa cuantas veces derivemos la función ex que siempre conseguiremos la misma función.

$\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}$

Esta propiedad de la función e elevada a x se debe a que la derivada de x es 1. Por lo tanto, al hacer la derivación siempre multiplicamos la propia función por 1 y, en consecuencia, siempre obtenemos la función original como resultado.

Derivada de funciones logarítmicas

El logaritmo de un número n es el exponente al que debe elevarse la base para obtener dicho número n.

Logaritmos naturales:

Estos logaritmos están representados simbólicamente como ln y su base es el número e cuyo valor irracional es de 2.718281828...

Derivadas Logarítmicas Resueltas

Ejemplo 1. Resuelva la siguiente derivada

$\displaystyle y=\ln 5x$

Solución:

En este primer ejemplo, observamos que nuestro argumento es 5x, es decir que u = 5x, si aplicamos la fórmula de la derivada de un logaritmo natural. Entonces tenemos:

$\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\left( 5x \right)}{5x}$

Como resultado de la derivada en la parte del numerador, tenemos.

$\displaystyle y'=\frac{5}{5x}$

Resultado:

$\displaystyle y'=\frac{1}{x}$

Ejemplo 2. Resuelva la siguiente derivada

$\displaystyle y=\ln \left( 8x+3 \right)$

Solución:

En este ejemplo el argumento ahora pasa estar dentro del paréntesis, es decir u = 8x +3, por lo que aplicando nuestra fórmula de derivación, obtendremos.

$\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\left( 8x+3 \right)}{8x+3}$

Derivando en la parte del numerador, nos daría el resultado que deseamos.

Resultado:

$\displaystyle y'=\frac{8}{8x+3}$

Ejemplo 3. Resuelva la siguiente derivada

$\displaystyle y=\ln \left( 3{{x}^{2}}-3x+7 \right)$

Solución:

Al observar nuestra función y su argumento, nos percatamos que u = 3x² - 3x +7 , entonces al aplicar la fórmula de derivada, obtenemos.

$\displaystyle y'=\frac{\frac{d\left( 3{{x}^{2}}-3x+7 \right)}{dx}}{3{{x}^{2}}-3x+7}$

Resultado:

$\displaystyle y=\frac{6x-3}{3{{x}^{2}}-3x+7}$

Ejemplo 4. Resuelva la siguiente derivada

$\displaystyle y=\ln \sqrt{9x}$

Solución:

Al analizar nuestro argumento es u = √9x , de tal forma que al aplicar nuestra fórmula de derivada, obtenemos.

$\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}\sqrt{9x}}{\sqrt{9x}}$

Pasamos a la raíz cuadrada a su forma de potencia, es decir:

$\displaystyle y'=\frac{\frac{d}{dx}{{\left( 9x \right)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{9x}}$

Derivamos como una potencia y esto nos daría:

$\displaystyle y'=\frac{\frac{1}{2}{{\left( 9x \right)}^{\frac{1}{2}-1}}\frac{d}{dx}\left( 9x \right)}{\sqrt{9x}}$

Resolviendo...

$\displaystyle y'=\frac{\frac{1}{2}{{\left( 9x \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left( 9 \right)}{\sqrt{9x}}$

Ordenando la parte del numerador.

$\displaystyle y'=\frac{\frac{9}{2\sqrt{9x}}}{\sqrt{9x}}$

Aplicando la ley de la torta, el sandwich o la herradura, como le llamen, obtenemos:

$\displaystyle y'=\frac{9}{2\sqrt{9x}\sqrt{9x}}$

Al multiplicar las dos raíces nos daría las raíces al cuadrado, lo que lo simplificaría a 1 , de tal forma:

$\displaystyle y'=\frac{9}{2{{\left( \sqrt{9x} \right)}^{2}}}=\frac{9}{2\left( 9x \right)}$

Simplificando aún más, obtenemos nuestro resultado.

Resultado:

$\displaystyle y'=\frac{1}{2x}$

Imágenes

videos en enlace

fuentes bibliográficas

Conclusión

& bueno en la parte de arriba dejo algunos videítos en los cuales nos podemos apoyar, y resolver mejor nuestra dudas ya que nos explica mas detalladamente sobre el tema nos vemos en un próximo tema bye.✌😁

Buscar este blog

Linda Haylin