Integración por fracciones parciales

Integración por fracciones parciales 

A veces siento que cuando voy entendiendo un tema, llega uno nuevo y voy saturando mi cerebro de mas información se que así son las matemáticas, un poco complicadas, pero es parte de la carrera y no queda de otra mas que seguir echándole ganas y no desanimarnos.

Definición

La integración por fracciones parciales es una técnica de integración que consiste en reescribir a una función racional como la suma de fracciones simples. Luego, la integral de cada fracción puede ser encontrada fácilmente.


Ejemplo de descomposición de fracciones propias en suma de fracciones simple

Si tenemos la fracción propia \frac{x}{(x-2)(x-1)^{4}}  para descomponerla en fracciones simple:

Solución

  \[\frac{x}{(x-2)(x-1)^{4}}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}+\frac{D}{(x-1)^{3}}+\frac{E}{(x-1)^{4}}\]

donde;

  \[x=A(x-1)^{4}+B(x-2)(x-1)^{3}+C(x-2)(x-1)^{2}+D(x-2)(x-1)+E(x-2)\]

derivamos;

  \[1=4A(x-1)^{3}+B(x-1)^{3}+3B(x-2)(x-1)^{2}+C(x-1)^{2}+2C(x-2)(x-1)+D(x-1)+D(x-2)+E\]

quedando que;

si consideramos a x=1 tenemos que;

  \[1=4A(1-1)^{3}+B(1-1)^{3}+3B(1-2)(1-1)^{2}+C(1-1)^{2}+2C(1-2)(x-1)+D(1-1)+D(1-2)+E\]

  \[1=-D+E\]

para x=2

  \[1=4A+B+C+D+E\]

para x=0

  \[1=-4A-7B+5C-3D+E\]

resolviendo ese sistema de ecuaciones obtenemos que;

A=2, B=2, C=-2, D=-2, E=-1

  \[=\frac{2}{x-2}-\frac{2}{x-1}-\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}-\frac{1}{(x-1)^{4}}\]









https://www.neurochispas.com/wiki/ejercicios-de-integrales-por-fracciones-parciales/

https://calculointegralweb.com/metodos-de-integracion/fracciones-parciales/


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