Longitud de arco

 Longitud de arco

Aprendizaje personal

El día de hoy vimos un  nuevo tema un poco mas difícil a mi punto de vista. Se que hacer este diario nos ayuda a entender un poco mas el tema ya que nos hace investigar un poco mas de información, adicional al que el profe nos a dado. y aunque no lo crean si sirve de mucho, ya que al visitando varias paginas referente al tema se nos queda información o incluso, podemos lograr entender un poco mejor explicado de otra manera diferente, viendo videos visitando otras paginas etc.

Conocimiento complementario 

LONGITUD DE ARCO

 

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Las primeras mediciones se hicieron posibles a través de aproximaciones trazando un polígono dentro de la curva y calculando la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.

 

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible, como lo muestra la siguiente figura:

Fórmula de longitud de arco

${\displaystyle 𝐿={\int }_{𝑎}^{𝑏}\sqrt{1+{[{𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)]}^2}𝑑𝑥}$

Ejemplo de longitud de arco

Calcular la longitud de arco de $𝑦={𝑥}^2$ desde $𝑥=0$ hasta $𝑥=1$.

La derivada de $𝑓(𝑥)={𝑥}^2$ es ${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=2𝑥$, así que sustituyamos en la fórmula de la longitud de arco la derivada y los límites.

${\displaystyle 𝐿={\int }_0^1\sqrt{1+{\left[2𝑥\right]}^2}𝑑𝑥}$

${\displaystyle 𝐿={\int }_0^1\sqrt{1+4{𝑥}^2}𝑑𝑥}$

Para poder resolver este ejercicio utilizaremos trigonometría, vamos a ayudarnos del siguiente triángulo:

Con el cual plantearemos las siguientes ecuaciones para poder dejar en términos trigonométricos la integral:

$\tan 𝜃=2𝑥$

$\sec 𝜃=\sqrt{1+4{𝑥}^2}$

Derivamos $\tan 𝜃$ para obtener:

${\sec }^2𝜃𝑑𝜃=2𝑑𝑥$

Ahora despejamos el $2$ para dejar a la $𝑑𝑥$ sola:

${\displaystyle \frac{{\sec }^2𝜃}{2}}𝑑𝜃=𝑑𝑥$

Una vez que ya tengamos las ecuaciones anteriores, sustituyamos en la integral de la longitud de arco de nuestro ejercicio:

${\displaystyle 𝐿={\int }_0^1\sqrt{1+4{𝑥}^2}𝑑𝑥\Rightarrow }$

${\displaystyle 𝐿={\int }_0^1\sec 𝜃\frac{{\sec }^2𝜃}{2}𝑑𝜃}$

Multiplicaremos los secantes para obtener un secante al cubo y por propiedades de las integrales podemos sacar el 2 del denominador

${\displaystyle 𝐿=\frac{1}{2}{\int }_0^1{\sec }^3𝜃𝑑𝜃}$

Consultando la integral de secante al cubo, obtendremos lo siguiente:

$={{\displaystyle \frac{1}{4}}\sec 𝜃\tan 𝜃+{\displaystyle \frac{1}{4}}\ln \mid \sec 𝜃+\tan 𝜃\mid ]}_0^1$

Ahora, sustituyendo de vuelta a los valores de $𝑥$, recuerda que $\tan 𝜃=2𝑥$ y $\sec 𝜃=\sqrt{1+4{𝑥}^2}$, obtendremos:

$={\displaystyle \frac{1}{4}}{[2𝑥\sqrt{1+4{𝑥}^2}+\ln \mid \sqrt{1+4{𝑥}^2}+2𝑥\mid ]}_0^1$

Ahora sí, evaluando los límites obtendremos lo siguiente:

$={\displaystyle \frac{1}{4}}[(2\sqrt{5}+\ln \mid 2+\sqrt{5}\mid )-\left(0\right)]$

Finalmente obtenemos un resultado de:

$𝐿={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}+\ln \mid 2+\sqrt{5}\mid }{4}}$

Así que nuestra longitud de arco es:

$𝐿={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}+\ln \mid 2+\sqrt{5}\mid }{4}}\approx 1.48𝑢$

La $𝑢$ significa unidades.

Imágenes

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Fuentes bibliográficas.

• http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematicas_VI_12/Applets_Geogebra/longarco.html
  
• https://rbjlabs.com/calculo/longitud-de-arco/