Integral definida

 Integral definida

Aprendizaje personal.
Holis en la clase de calculo integral vimos un nuevo tema llamado integral definida, a lo que yo entendí es que al darnos una función tenemos primero paso resolver la integral indefinida para poder hacer lo que es la integral definida sustituida por unos números puestos en la integral, después de haber resuelto nuestra integral indefinida vamos a sustituir, nuestra "X" por los números que están en la parte inferior y superior de nuestra integral como le digo yo nuestra s alargada y por ultimo solo es simplificar nuestra operación. bueno talvez aurita no se me entienda nada de lo que estoy explicando pero déjame ponerte algunos conceptos de que es la integral definida, y algunos ejemplos.

Conocimiento Complementario
La integral definida está definida como un límite. Este límite puede calcularse con las fórmulas de integración inmediata. Para calcular el valor de la integral definida evaluamos primero el límite superior y después el límite inferior. La diferencia entre estos valores es el valor de la integral definida.

La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área entre la gráfica de f(x), el eje X y las rectas verticales x=a y x=b.

Así pues, las integrales definidas se representan de la siguiente manera:

\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx

Donde:

  • \displaystyle\int es el signo de integración.
  • \displaystyle a es el límite inferior de la integración.
  • \displaystyle b es el límite superior de la integración.
  • \displaystyle f(x) es la función a integrar.
  • \displaystyle dx es el diferencial de x, que indica la variable de la función que se integra.

Ejemplos

Calcula la integral definida:

  \begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx \end{equation*}

y representa geométricamente el resultado.

Calculamos la integral:

  \begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx = \left.\frac{x^4}{4}\right\vert_{1}^{2} \end{equation*}

Ahora evaluamos:

  \begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{15}{4} \end{equation*}

Este resultado representa el área bajo la curva y = x^3, desde x = 1 hasta x=2 y sobre el eje x. El cálculo de esta integral definida también se puede realizar utilizando la definición:

  \begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,\cdot dx = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)\left(\frac{b-a}{n}\right)}} \end{equation*}

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Ejercicio 2

Resuelve la siguiente integral definida utilizando la regla de Barrow:

\displaystyle\int_2^4 \left(4x^3+3x^2-5\right)\ dx

Para evaluar la integral definida tenemos que usar la fórmula de la regla de Barrow:

\displaystyle\int_2^4 \left(4x^3+3x^2-5\right)\ dx=\left[\frac{4x^4}{4}+\frac{3x^3}{3}-5x\right]_2^4=\left[x^4+x^3-5x\right]_2^4

Ahora evaluamos la función primitiva en los extremos de la integral:

\displaystyle\left[x^4+x^3-5x\right]_2^4=4^4+4^3-5\cdot 4-\left(2^4+2^3-5\cdot 2\right)

Por último, calculamos todas las operaciones resultantes:

\begin{aligned}&\displaystyle 4^4+4^3-5\cdot 4-\left(2^4+2^3-5\cdot 2\right)=\\[2ex]&=256+64-20-(16+8-10)=\\[2ex]&=300-14=\\[2ex]&=286\end{aligned}



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Fuentes Bibliograficas

y bueno esto es todo por hoy espero les haya gustado mi investigación nos vemos en un nuevo tema ya saben en la parte de arriba estaré dejando algunos videítos con los cuales espero logres comprender mejor el tema chaoo.💜💋✋

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